GSEB Class 11 Statistics Quiz | Chapter-wise & Mixed MCQs

કઈ સરેરાશ પર અતિ મોટી અથવા અતિ નાની કિંમતોની સૌથી વધુ અસર થાય છે?

સમાંતર મધ્યક|મધ્યસ્થ|બહુલક|ગુણોત્તર મધ્યક

સમાંતર મધ્યક

All,ch3

સમજૂતી: સમાંતર મધ્યક (Arithmetic Mean) પર અતિ મોટી અથવા અતિ નાની કિંમતોની સૌથી વધુ અસર થાય છે કારણ કે તે તમામ અવલોકનોના સરવાળા પર આધારિત છે. મધ્યસ્થ અને બહુલક આત્યંતિક કિંમતોથી ઓછા પ્રભાવિત થાય છે. ગુણોત્તર મધ્યક પણ આત્યંતિક કિંમતોથી પ્રભાવિત થાય છે પરંતુ સમાંતર મધ્યક સૌથી વધુ સંવેદનશીલ છે.

નીચેનામાંથી કઈ કિંમત આપણને મધ્યસ્થ આપશે?

D₇|Q₃|P₄₅|P₅₀

P₅₀

All,ch3

સમજૂતી: P₅₀ એટલે 50મો પરસેન્ટાઈલ જે મધ્યસ્થ (Median) છે. મધ્યસ્થ એવી કિંમત છે જે માહિતીને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. Q₃ ત્રીજો ચતુર્થક છે, D₇ સાતમો દશાંશક છે અને P₄₅ 45મો પરસેન્ટાઈલ છે. તેથી મધ્યસ્થ P₅₀ છે.

નીચેનામાંથી કયા સંજોગોમાં મધ્યક શોધી શકાતો નથી?

વર્ગલંબાઈ અસમાન હોય|ખુલ્લા છેડાના વર્ગો હોય|વર્ગોની સંખ્યા ઉચ્ચી વધુ હોય|અનિવારક પ્રકારના વર્ગો હોય

ખુલ્લા છેડાના વર્ગો હોય

All,ch3

સમજૂતી: ખુલ્લા છેડાના વર્ગો (Open-end classes) હોય ત્યારે મધ્યક શોધી શકાતો નથી કારણ કે વર્ગની મધ્યકિંમત નક્કી કરી શકાતી નથી. વર્ગલંબાઈ અસમાન હોય તો પણ મધ્યક શોધી શકાય છે. મધ્યસ્થ અને બહુલક ખુલ્લા છેડાના વર્ગોમાં પણ શોધી શકાય છે.

કોઈ પણ માહિતી માટે નીચેનામાંથી સાચો સંબંધ કયો?

x̄ ≤ G|x̄ = G|x̄ ≥ G|x̄ > G

x̄ ≥ G

All,ch3

સમજૂતી: કોઈ પણ માહિતી માટે સમાંતર મધ્યક (x̄) હંમેશાં ગુણોત્તર મધ્યક (G) કરતાં મોટો કે સમાન હોય છે. એટલે x̄ ≥ G. આ સંબંધ ગાણિતિક રીતે સાબિત થયેલો છે. જ્યારે બધી કિંમતો સમાન હોય ત્યારે જ x̄ = G થાય છે.

સરેરાશની આસપાસ સમાન રીતે વિતરીત થયેલી માહિતી માટે નીચેનામાંથી કયું પરિણામ સાચું છે?

x̄ = M = M₀|x̄ > M > M₀|x̄ < M < M₀|x̄ < M > M₀

x̄ = M = M₀

All,ch3

સમજૂતી: જ્યારે માહિતી સરેરાશની આસપાસ સમાન રીતે (સમમિત) વિતરીત હોય ત્યારે સમાંતર મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક બધા સમાન હોય છે. એટલે x̄ = M = M₀. આ સમમિત વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતા છે.

જો 10 અવલોકનોનો મધ્યક 15 હોય, તો અવલોકનોનો સરવાળો કેટલો હશે?

25|150|5|1.5

150

All,ch3

સમજૂતી: મધ્યક = સરવાળો / અવલોકનોની સંખ્યા. તેથી 15 = સરવાળો / 10. સરવાળો = 15 × 10 = 150. આ સમાંતર મધ્યકની મૂળભૂત વ્યાખ્યા પર આધારિત છે.

5 અવલોકનોની માહિતી માટે Σ(x – 9) = 0 હોય, તો મધ્યકની કિંમત કેટલી હોય?

x̄ = 0|x̄ = 5|x̄ = 9|x̄ = 45

x̄ = 9

All,ch3

સમજૂતી: Σ(x – A) = 0 હોય તો A જ મધ્યક છે. અહીં Σ(x – 9) = 0 હોવાથી મધ્યક x̄ = 9 છે. આ સમાંતર મધ્યકની મહત્ત્વની ગુણધર્મ છે કે વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

અવલોકનો 7, 9, 9, 1, 7, 9, 9, 4, 9, 1નો બહુલક કેટલો છે?

1|4|7|9

9

All,ch3

સમજૂતી: બહુલક એવી કિંમત છે જે સૌથી વધુ વખત આવે છે. અહીં 9 પાંચ વખત આવે છે જે સૌથી વધુ છે. તેથી બહુલક 9 છે. 1 બે વખત, 7 બે વખત અને 4 એક વખત આવે છે.

50 અવલોકનોના સમૂહમાં મધ્યસ્થ એટલે શું?

25મા અવલોકનની કિંમત|26મા અવલોકનની કિંમત|25.5મા અવલોકનની કિંમત|26.5મા અવલોકનની કિંમત

25.5મા અવલોકનની કિંમત

All,ch3

સમજૂતી: જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા સમ (even) હોય ત્યારે મધ્યસ્થ = (n/2)મા અને (n/2 + 1)મા અવલોકનની કિંમતોનો સરેરાશ. 50 માટે 25મા અને 26મા અવલોકનનો સરેરાશ એટલે 25.5મી સ્થિતિ. તેથી 25.5મા અવલોકનની કિંમત મધ્યસ્થ છે.

4 અને 9નો ગુણોત્તર મધ્યક કેટલો થશે?

4|6|6.5|36

6

All,ch3

સમજૂતી: બે સંખ્યા a અને bનો ગુણોત્તર મધ્યક = √(a × b). અહીં √(4 × 9) = √36 = 6. ગુણોત્તર મધ્યક હંમેશાં ધન સંખ્યા માટે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે.

એક ચલનો મધ્યક 15 અને મધ્યસ્થ 20 હોય, તો આસન્નિત સૂત્રથી બહુલક કેટલો હશે?

30|5|35|17.5

30

All,ch3

સમજૂતી: આસન્નિત સૂત્ર મુજબ M₀ = 3M – 2x̄. અહીં M = 20, x̄ = 15. તેથી M₀ = 3×20 – 2×15 = 60 – 30 = 30. આ સૂત્ર સમમિત વિતરણ માટે લગભગ સાચું પરિણામ આપે છે.

10 અવલોકનોનો મધ્યસ્થ 14 છે. જો દરેક અવલોકન બમણું થાય, તો નવા અવલોકનોનો મધ્યસ્થ કેટલો હશે?

10|28|7|1.4

28

All,ch3

સમજૂતી: જો દરેક અવલોકનને k વડે ગુણવામાં આવે તો મધ્યસ્થ પણ k વડે ગુણાય છે. અહીં k = 2 હોવાથી નવો મધ્યસ્થ = 14 × 2 = 28. મધ્યસ્થ રેખીય પરિવર્તનથી પ્રભાવિત થાય છે.

એક માહિતીનાં બધાં અવલોકનોની સમાન કિંમત 16 છે, તો તેનો બહુલક કેટલો હશે?

8|2|16|4

16

All,ch3

સમજૂતી: જ્યારે બધાં અવલોકનો સમાન હોય ત્યારે બહુલક પણ તે જ કિંમત હોય છે. અહીં બધાં અવલોકનો 16 છે તેથી બહુલક 16 છે. આ કિસ્સામાં મધ્યક અને મધ્યસ્થ પણ 16 જ હોય છે.

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?

ચતુર્થકો વડે માહિતીનાં અવલોકનોને 4 ભાગમાં વહેંચાય છે|મધ્યક આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 2 ભાગમાં વહેંચે છે|શતાંશકો આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 100 ભાગમાં વહેંચે છે|દશાંશકો આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 10 ભાગમાં વહેંચે છે

મધ્યક આપેલ માહિતીનાં અવલોકનોને 2 ભાગમાં વહેંચે છે

All,ch3

સમજૂતી: મધ્યક (Mean) માહિતીને બે ભાગમાં વહેંચતો નથી. મધ્યસ્થ (Median) માહિતીને બે સમાન ભાગમાં વહેંચે છે. ચતુર્થકો ચાર ભાગમાં, દશાંશકો દસ ભાગમાં અને શતાંશકો સો ભાગમાં વહેંચે છે. તેથી આ વિધાન અસત્ય છે.

સ્ટીલના પાઈપ બનાવતી એક કંપનીના 6 પાઈપોની લંબાઈ (મીટરમાં) નીચે પ્રમાણે છે: 1.05, 1.15, 0.98, 1.12, 0.89, 0.95. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે?

બહુલક = 1 મી|બહુલક = 1.15 મી|બહુલક = 0.98 મી|બહુલક પ્રાપ્ત નથી

બહુલક પ્રાપ્ત નથી

All,ch3

સમજૂતી: આપેલ માહિતીમાં કોઈ પણ કિંમત એકથી વધુ વખત આવતી નથી. તેથી બહુલક પ્રાપ્ત થતો નથી. બહુલક ત્યારે જ મળે જ્યારે કોઈ કિંમત અન્ય કિંમતો કરતાં વધુ વખત આવે. અહીં બધી કિંમતો અલગ છે.

જર્મન શબ્દ ‘Statistik’ સૌપ્રથમ કોના દ્વારા વપરાયો હતો?

જ્હોન ગ્રાઉન્ટ|વિલિયમ પેટી|ગોટફ્રાઈડ એકેનવાલ|ગૉસ

ગોટફ્રાઈડ એકેનવાલ

All,ch1

સમજૂતી: જર્મન શબ્દ ‘Statistik’ સૌપ્રથમ ગોટફ્રાઈડ એકેનવાલ (Gottfried Achenwall) દ્વારા વપરાયો હતો. તેમણે આ શબ્દનો ઉપયોગ રાજ્યના રાજકીય વિજ્ઞાન માટે કર્યો હતો. જ્હોન ગ્રાઉન્ટ અને વિલિયમ પેટીને આંકડાશાસ્ત્રના પ્રારંભિક વિકાસમાં મહત્ત્વનું યોગદાન છે પરંતુ આ શબ્દ એકેનવાલે વાપર્યો હતો.

સંભાવનાશાસ્ત્રનાં પ્રારંભિક પરિણામો માટેના મહારથીઓમાંના એક નીચેના પૈકી કોણ હતા?

જ્હોન ગ્રાઉન્ટ|લાપ્લાસ|ફિશર|જે. નેમાન

લાપ્લાસ

All,ch1

સમજૂતી: સંભાવનાશાસ્ત્રનાં પ્રારંભિક પરિણામો માટેના મહારથીઓમાં લાપ્લાસ (Laplace)નું નામ મુખ્ય છે. તેમણે સંભાવના સિદ્ધાંતને વિકસાવ્યો. જ્હોન ગ્રાઉન્ટ વસ્તી આંકડાશાસ્ત્ર સાથે સંકળાયેલા હતા. ફિશર અને નેમાન આધુનિક આંકડાશાસ્ત્રના વિકાસમાં મહત્ત્વના છે.

ગણિતીય આંકડાશાસ્ત્રના સ્થાપક કોણ હતા?

કાર્લ પિયર્સન|લાપ્લાસ|મહાલનોબિસ|ગૉસે

કાર્લ પિયર્સન

All,ch1

સમજૂતી: ગણિતીય આંકડાશાસ્ત્રના સ્થાપક કાર્લ પિયર્સન (Karl Pearson) હતા. તેમણે સહસંબંધ, રીગ્રેશન અને કાઈ-વર્ગ કસોટી જેવા મહત્ત્વના સાધનો વિકસાવ્યા. મહાલનોબિસ ભારતીય આંકડાશાસ્ત્રના પિતા તરીકે ઓળખાય છે.

નીચેનામાંથી કયું ઉદાહરણ પ્રાથમિક માહિતીનું છે?

મ્યુનિસિપાલિટીના અહેવાલમાંથી મેળવેલ માહિતી|ઉદયોગ માટેના પ્રકાશિત થયેલ જર્નલમાંથી મેળવેલ માહિતી|વેબ સાઈટ ઉપરથી મેળવેલ માહિતી|NSSO દ્વારા એકત્રિત થયેલ માહિતી

NSSO દ્વારા એકત્રિત થયેલ માહિતી

All,ch1

સમજૂતી: NSSO (National Sample Survey Office) દ્વારા એકત્રિત થયેલ માહિતી પ્રાથમિક માહિતી છે કારણ કે તે સીધી મૂળ સ્ત્રોતમાંથી એકત્રિત કરવામાં આવે છે. અન્ય વિકલ્પોમાં માહિતી પહેલાથી પ્રકાશિત કે અન્ય સંસ્થા દ્વારા એકત્રિત હોવાથી ગૌણ માહિતી કહેવાય.

નીચેનામાંથી કયું ઉદાહરણ ગુણાત્મક માહિતીનું છે?

આવકના ઓછી, મધ્યમ, ઉચ્ચ એવા વર્ગો|ઉત્પાદન (ટનમાં)|કામદારોની ઉંમર (વર્ષમાં)|વ્યક્તિઓની ઊંચાઈ (મીટરમાં)

આવકના ઓછી, મધ્યમ, ઉચ્ચ એવા વર્ગો

All,ch1

સમજૂતી: આવકના ઓછી, મધ્યમ, ઉચ્ચ એવા વર્ગો ગુણાત્મક માહિતી છે કારણ કે તે સંખ્યાત્મક માપ નથી પરંતુ ગુણધર્મ પર આધારિત છે. ઉત્પાદન, ઉંમર અને ઊંચાઈ સંખ્યાત્મક (Quantitative) માહિતી છે.

ગૌણ માહિતી માટે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

સ્વાદેય ઉપયોગમાં ન લેવી જોઈએ|કાળજીપૂર્વક ચકાસણી કર્યા બાદ જ ઉપયોગમાં લેવી જોઈએ|ના ઉપયોગ દરમિયાન તેની ચકાસણી કરવાની જરૂરી નથી|ગૌણ માહિતી એ જ પ્રાથમિક માહિતી છે

કાળજીપૂર્વક ચકાસણી કર્યા બાદ જ ઉપયોગમાં લેવી જોઈએ

All,ch1

સમજૂતી: ગૌણ માહિતીનો ઉપયોગ કરતા પહેલાં કાળજીપૂર્વક ચકાસણી કરવી જરૂરી છે. કારણ કે તે અન્ય સંસ્થા દ્વારા એકત્રિત હોય છે અને તેની વિશ્વસનીયતા, સમયગાળો, વ્યાખ્યા વગેરે ચકાસવા જોઈએ. સીધો ઉપયોગ ભૂલભરેલા તારણો તરફ દોરી શકે છે.

પ્રાથમિક માહિતી માટે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

પ્રાથમિક માહિતી ગૌણ માહિતીની સરખામણીમાં હંમેશાં વધારે ભરોસાપાત્ર છે|પ્રાથમિક માહિતી ગૌણ માહિતીની સરખામણીમાં ઓછી ભરોસાપાત્ર છે|પ્રાથમિક માહિતી કાળજીપૂર્વક એકઠી કરાયેલ છે કે નહિ તેના પર આધાર રાખે છે|પ્રાથમિક માહિતી પ્રકાશિત થયેલ સરકારી પ્રકાશનોમાંથી મેળવાય છે

પ્રાથમિક માહિતી ગૌણ માહિતીની સરખામણીમાં હંમેશાં વધારે ભરોસાપાત્ર છે

All,ch1

સમજૂતી: પ્રાથમિક માહિતી સીધી મૂળ સ્ત્રોતમાંથી એકત્રિત થતી હોવાથી ગૌણ માહિતી કરતાં હંમેશાં વધુ ભરોસાપાત્ર માનવામાં આવે છે. જો કે તેની ગુણવત્તા એકત્રીકરણની પદ્ધતિ પર આધાર રાખે છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે તે વધુ વિશ્વસનીય ગણાય છે.

નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

પ્રત્યક્ષ તપાસ દ્વારા મળતી માહિતી વધારે ચોકસાઈભરેલી હોઈ શકે છે|પ્રત્યક્ષ તપાસ દ્વારા મળતી માહિતી ઓછી ચોકસાઈભરેલી હોઈ શકે છે|પ્રત્યક્ષ તપાસ દ્વારા મળતી માહિતી ભરોસાપાત્ર ન હોઈ શકે|દૂર-મેઇલ દ્વારા મેળવાતી માહિતી પ્રત્યક્ષ દ્વારા મળતી માહિતી કહેવાય છે

પ્રત્યક્ષ તપાસ દ્વારા મળતી માહિતી વધારે ચોકસાઈભરેલી હોઈ શકે છે

All,ch1

સમજૂતી: પ્રત્યક્ષ તપાસ (Direct Personal Investigation) દ્વારા મળતી માહિતી વધુ ચોકસાઈભરેલી હોઈ શકે છે કારણ કે સંશોધક પોતે માહિતી એકત્રિત કરે છે. પરંતુ તે મોંઘી અને સમય માંગી લે તેવી પદ્ધતિ છે. દૂર-મેઇલ પદ્ધતિ પરોક્ષ પદ્ધતિ છે.

માહિતી આપનારનાં અંગત લક્ષણો બાબતની પૂરક માહિતી મેળવવા માટેની યોગ્ય પદ્ધતિ નીચેનામાંથી કઈ છે?

ટપાલ દ્વારા પ્રશ્નાવલિ|રૂબરૂ તપાસ|પરોક્ષ તપાસ|સમાચારપત્રોમાંથી

રૂબરૂ તપાસ

All,ch1

સમજૂતી: માહિતી આપનારનાં અંગત લક્ષણો બાબતની પૂરક માહિતી મેળવવા માટે રૂબરૂ તપાસ (Personal Interview) સૌથી યોગ્ય છે. આ પદ્ધતિમાં સંશોધક સીધો સંપર્ક કરીને વધુ માહિતી મેળવી શકે છે અને સ્પષ્ટતા મેળવી શકે છે.

તપાસ હેઠળની વ્યક્તિઓની સંખ્યા વધારે હોય અને તેઓ વિશાળ ક્ષેત્રમાં ફેલાયેલી હોય ત્યારે કઈ પદ્ધતિ વધારે ખર્ચાળ નીવડી શકે છે?

ટપાલ દ્વારા પ્રશ્નાવલિ|પરોક્ષ તપાસ|પ્રત્યક્ષ તપાસ|ટેલિફોન દ્વારા

પ્રત્યક્ષ તપાસ

All,ch1

સમજૂતી: જ્યારે તપાસ હેઠળની વ્યક્તિઓની સંખ્યા વધારે હોય અને તેઓ વિશાળ ક્ષેત્રમાં ફેલાયેલી હોય ત્યારે પ્રત્યક્ષ તપાસ સૌથી વધુ ખર્ચાળ નીવડે છે. કારણ કે સંશોધકને દરેક વ્યક્તિ પાસે જવું પડે છે. ટપાલ કે ટેલિફોન પદ્ધતિ પ્રમાણમાં સસ્તી છે.

નીચેનાં પૈકી કયો ચલ અસતત છે?

વ્યક્તિની ઊંચાઈ|વસ્તુનું વજન|મેદાનનું ક્ષેત્રફળ|કુટુંબદીઠ બાળકોની સંખ્યા

કુટુંબદીઠ બાળકોની સંખ્યા

All,ch2

સમજૂતી: કુટુંબદીઠ બાળકોની સંખ્યા અસતત (Discrete) ચલ છે કારણ કે તે માત્ર પૂર્ણાંક કિંમતો જ લઈ શકે છે (1, 2, 3...). ઊંચાઈ, વજન અને ક્ષેત્રફળ સતત (Continuous) ચલ છે કારણ કે તેઓ કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે.

નીચેના પૈકી સતત ચલ કયો છે?

પુસ્તકમાં પાનાદીઠ ભૂલની સંખ્યા|કારના ઉત્પાદનની સંખ્યા|માર્ગ પરના અકસ્માતની સંખ્યા|વ્યક્તિની માસિક આવક

વ્યક્તિની માસિક આવક

All,ch2

સમજૂતી: વ્યક્તિની માસિક આવક સતત ચલ છે કારણ કે તે કોઈ પણ વાસ્તવિક મૂલ્ય લઈ શકે છે. પાનાદીઠ ભૂલ, કારની સંખ્યા અને અકસ્માતની સંખ્યા અસતત ચલ છે કારણ કે તે માત્ર પૂર્ણાંક કિંમતો જ લઈ શકે છે.

વસ્તુની દૈનિક માંગ વિશે આપેલ અવર્ગીકૃત માહિતીને વર્ગીકૃત કરવાની રીતને શું કહે છે?

ગુણાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ|સંખ્યાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ|અવર્ગીકૃત વર્ગીકરણ|બહુવિધ વર્ગીકરણ

સંખ્યાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ

All,ch2

સમજૂતી: વસ્તુની દૈનિક માંગ સંખ્યાત્મક માહિતી છે. તેને વર્ગીકૃત કરવાની રીતને સંખ્યાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ કહે છે. ગુણાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ ગુણધર્મ પર આધારિત હોય છે.

કોઈ એક વિસ્તારમાં રહેતા લોકોના વ્યવસાય અને તેમના અભ્યાસ વિશે આપેલ માહિતીને વર્ગીકૃત કરવાની રીતને શું કહે છે?

ક્રોસ્ટેબ્યુલેશન|સંખ્યાત્મક માહિતીનું વિતરણ|અવર્ગીકૃત વિતરણ|સતત આવૃત્તિવિતરણ

ક્રોસ્ટેબ્યુલેશન

All,ch2

સમજૂતી: જ્યારે બે કે વધુ ગુણધર્મો (વ્યવસાય અને અભ્યાસ) અનુસાર માહિતીને એકસાથે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે ત્યારે તેને ક્રોસ્ટેબ્યુલેશન કહે છે. આ પદ્ધતિ બે ચલો વચ્ચેના સંબંધને સમજવામાં મદદ કરે છે.

સતત આવૃત્તિવિતરણમાં વર્ગની વર્ગલંબાઈ એટલે શું?

બે ક્રમિક અધસીમાબિંદુની સરેરાશ|વર્ગની વર્ગસીમાઓની સરેરાશ|વર્ગની ઉર્ધ્વસીમાબિંદુ અને અધસીમાબિંદુઓ વચ્ચેનો તફાવત|વર્ગની ઉર્ધ્વસીમાબિંદુ અને અધસીમાબિંદુની સરેરાશ

વર્ગની ઉર્ધ્વસીમાબિંદુ અને અધસીમાબિંદુઓ વચ્ચેનો તફાવત

All,ch2

સમજૂતી: સતત આવૃત્તિવિતરણમાં વર્ગલંબાઈ = ઉર્ધ્વસીમાબિંદુ – અધસીમાબિંદુ. આ તફાવત વર્ગની પહોળાઈ દર્શાવે છે. સમાન વર્ગલંબાઈવાળા વર્ગો હોય ત્યારે વિશ્લેષણ સરળ બને છે.

કોઈ એક અવર્ગીકૃત માહિતીનો વિસ્તાર 55 છે અને તેને છ સમાન વર્ગલંબાઈવાળા વર્ગોમાં વિભાજિત કરવાની હોય તો વર્ગલંબાઈ કેટલી થાય?

10|9|9.17|10.17

10

All,ch2

સમજૂતી: વર્ગલંબાઈ = વિસ્તાર / વર્ગોની સંખ્યા = 55 / 6 ≈ 9.17. પરંતુ વ્યવહારમાં સામાન્ય રીતે પૂર્ણાંક લેવામાં આવે છે અને જવાબ 10 લેવામાં આવે છે જેથી બધી કિંમતો સમાઈ જાય. પાઠ્યપુસ્તકમાં 10 આપેલ છે.

અનિવારક વર્ગો 10 – 19.5, 20 – 29.5, 30 – 39.5 છે, તો બીજા વર્ગની નિવારક સીમાઓ કઈ થશે?

19.5 – 29.5|19.75 – 29.75|20 – 30|19 – 29

19.75 – 29.75

All,ch2

સમજૂતી: અનિવારક વર્ગોમાંથી નિવારક સીમાઓ મેળવવા માટે અધસીમા અને ઉર્ધ્વસીમામાં 0.25 ઉમેરી/બાદ કરવામાં આવે છે. 20 – 29.5 માટે નિવારક સીમા 19.75 – 29.75 થાય છે. આથી વર્ગો વચ્ચેનું અંતર દૂર થાય છે.

એક અસતત ચલની કિંમતો 0, 1, 2, 3, 4 માટેની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે 2, 4, 6, 8, 14 છે, તો ચલની કિંમત 2ને અનુરૂપ ‘થી વધુ’ સંચયી આવૃત્તિ કેટલી થાય?

28|12|34|6

28

All,ch2

સમજૂતી: ‘થી વધુ’ સંચયી આવૃત્તિ એટલે આપેલ કિંમત અને તેનાથી વધુ કિંમતોની આવૃત્તિનો સરવાળો. કિંમત 2 માટે: 6 + 8 + 14 = 28. આ સંચયી આવૃત્તિ વિતરણ બનાવવામાં ઉપયોગી છે.

સતત ચલ માટેના વર્ગો 0 – 9, 10 – 19, 20 – 29, 30 – 39 છે અને તેની આવૃત્તિ અનુક્રમે 10, 20, 40, 10 છે, તો સીમાબિંદુ 29.5ને અનુરૂપ ‘થી ઓછી’ સંચયી આવૃત્તિ કેટલી થાય?

30|50|70|80

70

All,ch2

સમજૂતી: ‘થી ઓછી’ સંચયી આવૃત્તિ એટલે આપેલ સીમાબિંદુથી ઓછી કિંમતોની આવૃત્તિનો સરવાળો. 29.5 માટે 0–9, 10–19, 20–29 ની આવૃત્તિ = 10 + 20 + 40 = 70. આ સંચયી આવૃત્તિ મધ્યસ્થ શોધવામાં ઉપયોગી છે.

એક સતત માહિતી માટેના વર્ગો 1 – 1.95, 2 – 2.95, 3 – 3.95, 4 – 4.95, 5 – 5.95 છે, તો બીજા વર્ગની અધસીમાબિંદુ કેટલી થાય?

1.995|2|2.975|1.975

1.975

All,ch2

સમજૂતી: બીજા વર્ગની અધસીમા 2 છે. અધસીમાબિંદુ મેળવવા માટે અધસીમા અને પાછલા વર્ગની ઉર્ધ્વસીમાનો સરેરાશ લેવામાં આવે છે. (1.95 + 2)/2 = 1.975. આથી વર્ગો વચ્ચેનું અંતર દૂર થાય છે.

આકૃતિઓ માટે નીચેના પૈકી કયાં વિધાનો સાચાં છે? વિધાન 1: વિશાળ અને જટિલ માહિતીને સરળ અને આકર્ષક રીતે રજૂ કરવાની રીત એટલે આકૃતિ. વિધાન 2: માહિતીનાં મુખ્ય લક્ષણો આપોઆપ સ્પષ્ટ બને તે રીતની રજૂઆત એટલે આકૃતિ. વિધાન 3: માહિતીનો તુલનાત્મક અભ્યાસ સ્પષ્ટ કરતી રજૂઆત એટલે આકૃતિ.

ફક્ત વિધાન 1 સાચું|ફક્ત વિધાન 2 અને 3 સાચાં|વિધાન 1, 2 અને 3 સાચાં|ત્રણેય વિધાન ખોટાં

વિધાન 1, 2 અને 3 સાચાં

All,ch2

સમજૂતી: ત્રણેય વિધાનો સાચાં છે. આકૃતિ માહિતીને સરળ, આકર્ષક અને તુલનાત્મક રીતે રજૂ કરે છે. તે મુખ્ય લક્ષણોને સ્પષ્ટ બનાવે છે અને વિશાળ માહિતીને સરળ બનાવે છે. આકૃતિ આંકડાશાસ્ત્રમાં મહત્ત્વનું સાધન છે.

એક સતત માહિતી માટેના વર્ગો 0 – 99, 100 – 199, 200 – 299, 300 – 399, 400 – 499 છે, તો બીજા વર્ગની મધ્યકિંમત કેટલી થાય?

149.5|150|199.5|99.5

149.5

All,ch2

સમજૂતી: મધ્યકિંમત = (અધસીમા + ઉર્ધ્વસીમા)/2. બીજા વર્ગ માટે (100 + 199)/2 = 149.5. મધ્યકિંમત વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે અને મધ્યક શોધવામાં ઉપયોગી છે.

કોઈ એક કંપનીમાં કામ કરતા કર્મચારીઓનો દરજ્જો, જાતિ તેમજ વૈવાહિક દરજ્જો દર્શાવતા કોષ્ટકને શું કહેવાય?

સાદું વર્ગીકરણ|સંખ્યાત્મક માહિતીનું વર્ગીકરણ|જટિલ વર્ગીકરણ|સાદું કોષ્ટક

જટિલ વર્ગીકરણ

All,ch2

સમજૂતી: જ્યારે ત્રણ કે વધુ ગુણધર્મો (દરજ્જો, જાતિ, વૈવાહિક સ્થિતિ) અનુસાર માહિતી વર્ગીકૃત કરવામાં આવે ત્યારે તેને જટિલ વર્ગીકરણ કહે છે. સાદું વર્ગીકરણ માત્ર એક ગુણધર્મ પર આધારિત હોય છે.

વર્ગીકૃત માહિતીની પેટામાહિતીની રજૂઆત માટે કઈ આકૃતિ ઉપયોગી છે?

સાદી સ્તંભાકૃતિ|વિભાજિત સ્તંભાકૃતિ|પાસપાસેની સ્તંભાકૃતિ|ચિત્રાકૃતિ

વિભાજિત સ્તંભાકૃતિ

All,ch2

સમજૂતી: વર્ગીકૃત માહિતીની પેટામાહિતી દર્શાવવા માટે વિભાજિત સ્તંભાકૃતિ (Component Bar Diagram) ઉપયોગી છે. તેમાં દરેક સ્તંભને પેટા-ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે જેથી પેટા-માહિતી સ્પષ્ટ દેખાય.

વર્ગીકૃત માહિતીઓની પેટામાહિતીની સરખામણી માટે કઈ આકૃતિ ઉપયોગી છે?

ચિત્રાકૃતિ|વૃત્તાંશ આકૃતિ|સાદી વિભાજિત સ્તંભાકૃતિ|વિભાજિત સ્તંભાકૃતિ

વૃત્તાંશ આકૃતિ

All,ch2

સમજૂતી: વર્ગીકૃત માહિતીની પેટામાહિતીની સરખામણી માટે વૃત્તાંશ આકૃતિ (Pie Diagram) ઉપયોગી છે. તેમાં કુલ માહિતીને 360°માં વહેંચીને દરેક ભાગનું પ્રમાણ દર્શાવવામાં આવે છે. તે તુલના માટે અસરકારક છે.

નીચેના પૈકી કયું વિસ્તારનું સૂત્ર છે?

x_H – x_L|(x_H – x_L)/(x_H + x_L)|(x_L – x_H)/(x_L + x_H)|x_L – x_H

(x_H – x_L)/(x_H + x_L)

All,ch4

સમજૂતી: સાપેક્ષ વિસ્તાર (Coefficient of Range) = (x_H – x_L)/(x_H + x_L) જ્યાં x_H મહત્તમ અને x_L લઘુત્તમ કિંમત છે. સાદો વિસ્તાર x_H – x_L છે. સાપેક્ષ વિસ્તાર બે સમૂહોની તુલના માટે ઉપયોગી છે કારણ કે તે એકમથી મુક્ત છે.

પ્રસારના કયા માપમાં અવલોકનો અને તેના મધ્યકના તફાવતના માનાંક લેવામાં આવે છે?

સરેરાશ વિચલન|પ્રમાણિત વિચલન|વિસ્તાર|ચતુર્થક વિચલન

સરેરાશ વિચલન

All,ch4

સમજૂતી: સરેરાશ વિચલન (Mean Deviation)માં અવલોકનો અને મધ્યક (અથવા મધ્યસ્થ) વચ્ચેના તફાવતના માનાંક (absolute values) લેવામાં આવે છે. પ્રમાણિત વિચલનમાં વર્ગો લેવામાં આવે છે. સરેરાશ વિચલન આત્યંતિક કિંમતોથી ઓછું પ્રભાવિત થાય છે.

નીચેના પૈકી કયું માપ એકમથી મુક્ત છે?

સરેરાશ વિચલન|ચતુર્થક વિચલન|વિસ્તાર|ચલનાંક

ચલનાંક

All,ch4

સમજૂતી: ચલનાંક (Coefficient of Variation) એકમથી મુક્ત છે કારણ કે તે પ્રમાણિત વિચલન અને મધ્યકનો ગુણોત્તર છે (CV = (σ/x̄)×100). તેથી વિવિધ એકમવાળા સમૂહોની તુલના કરી શકાય છે. અન્ય માપો એકમ ધરાવે છે.

અંતિમ અવલોકનોની ન્યૂનતમ અસર થતી હોય તેવું પ્રસારમાનનું કયું માપ છે?

વિસ્તાર|પ્રમાણિત વિચલન|ચતુર્થક વિચલન|સરેરાશ વિચલન

ચતુર્થક વિચલન

All,ch4

સમજૂતી: ચતુર્થક વિચલન (Quartile Deviation) અંતિમ અવલોકનોથી ઓછું પ્રભાવિત થાય છે કારણ કે તે માત્ર પ્રથમ અને તૃતીય ચતુર્થક પર આધારિત છે. વિસ્તાર અને પ્રમાણિત વિચલન આત્યંતિક કિંમતોથી વધુ પ્રભાવિત થાય છે.

જો સમૂહ Aનો ચલનાંક એ સમૂહ Bના ચલનાંક કરતાં ઓછો હોય, તો કયો સમૂહ ચલનની દૃષ્ટિએ વધુ સ્થિર ગણાય?

A|B|બંને|કહી શકાય નહિ

A

All,ch4

સમજૂતી: ચલનાંક ઓછો હોય તે સમૂહ વધુ સ્થિર (consistent) ગણાય છે. કારણ કે ચલનાંક વિષમતાનું સાપેક્ષ માપ છે. જે સમૂહનો CV ઓછો હોય તેની વિષમતા ઓછી અને સ્થિરતા વધુ હોય છે.

10 વિદ્યાર્થીઓનાં વજન (કિગ્રામાં) નીચે મુજબ છે: 53, 47, 60, 55, 71, 65, 61, 58, 63, 70. આ માહિતીનો વિસ્તાર કેટલો છે?

17|23|24|18

24

All,ch4

સમજૂતી: વિસ્તાર = મહત્તમ કિંમત – લઘુત્તમ કિંમત = 71 – 47 = 24. વિસ્તાર પ્રસારનું સૌથી સરળ માપ છે પરંતુ તે માત્ર બે આત્યંતિક કિંમતો પર આધારિત હોવાથી ઓછું વિશ્વસનીય છે.

એક માહિતીના પ્રથમ અને તૃતીય ચતુર્થકો અનુક્રમે 30 અને 50 હોય, તો ચતુર્થક વિચલનાંકની કિંમત કેટલી થાય?

0.25|50|4|20

0.25

All,ch4

સમજૂતી: ચતુર્થક વિચલનાંક = (Q₃ – Q₁)/(Q₃ + Q₁) = (50 – 30)/(50 + 30) = 20/80 = 0.25. આ સાપેક્ષ માપ છે અને એકમથી મુક્ત છે. તે વિષમતાની તુલના માટે ઉપયોગી છે.

અવલોકનો 5, 5, 5, 5, 5 માટે પ્રસારનું કોઈ પણ માપ શું થાય?

1|5|0|25

0

All,ch4

સમજૂતી: જ્યારે બધાં અવલોકનો સમાન હોય ત્યારે વિષમતા શૂન્ય હોય છે. તેથી વિસ્તાર, સરેરાશ વિચલન, પ્રમાણિત વિચલન બધાં શૂન્ય થાય છે. આ સમૂહમાં કોઈ વિષમતા નથી.

એક ચલ માટે મધ્યક 10 અને ચલનાંક 60% હોય, તો ચલનું વિચરણ કેટલું થાય?

6|36|60|50

36

All,ch4

સમજૂતી: ચલનાંક (CV) = (σ / x̄) × 100 = 60. તેથી σ / 10 = 0.6 → σ = 6. વિચરણ (Variance) = σ² = 36. વિચરણ પ્રમાણિત વિચલનનો વર્ગ છે.

એક શ્રેણી k₁, k₂, k₃, …, kₙનું પ્રમાણિત વિચલન 5 છે, તો (I) k₁+2, k₂+2, …, kₙ+2 (II) 3k₁, 3k₂, …, 3kₙ શ્રેણીના પ્રમાણિત વિચલન શું થશે?

(I) 7 (II) 3|(I) 5 (II) 3|(I) 5 (II) 15|(I) 7 (II) 15

(I) 5 (II) 15

All,ch4

સમજૂતી: જો દરેક અવલોકનમાં અચળ સંખ્યા ઉમેરાય તો પ્રમાણિત વિચલન બદલાતું નથી. તેથી (I)નું σ = 5. જો દરેક અવલોકનને k વડે ગુણવામાં આવે તો σ પણ k વડે ગુણાય છે. તેથી (II)નું σ = 3×5 = 15.

એક ચલ xનો મધ્યક 5 અને પ્રમાણિત વિચલન 2 છે. જો y = 3x + 4 હોય, તો ચલ yનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે કેટલા થાય?

19 અને 6|15 અને 49|19 અને 10|15 અને 10

19 અને 6

All,ch4

સમજૂતી: y = 3x + 4 હોય તો મધ્યક ȳ = 3x̄ + 4 = 3×5 + 4 = 19. પ્રમાણિત વિચલન σ_y = |3| × σ_x = 3×2 = 6. અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી σ બદલાતું નથી પરંતુ ગુણાકારથી બદલાય છે.

એક માહિતીનાં અવલોકનોનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 45 અને 5 છે. જો દરેક અવલોકનોમાં અચલ સંખ્યા 5 ઉમેરવામાં આવે, તો નવી માહિતી બને તેનાં અવલોકનોનો ચલનાંક કેટલો થાય?

10%|50%|11.11%|900%

10%

All,ch4

સમજૂતી: નવો મધ્યક = 45 + 5 = 50. પ્રમાણિત વિચલન અચળ રહે છે = 5. ચલનાંક = (5/50)×100 = 10%. અચળ સંખ્યા ઉમેરવાથી CV બદલાય છે કારણ કે મધ્યક બદલાય છે.

જો માહિતીમાં બહુલક અવ્યાખ્યાયિત હોય, તો સામાન્ય સંજોગોમાં તેની વિષમતાંકનો વિસ્તાર કેટલો હોય?

0થી 1 સુધી|–1થી +1 સુધી|–3થી +3 સુધી|1થી 0 સુધી

–3થી +3 સુધી

All,ch5

સમજૂતી: કાર્લ પિયર્સનના વિષમતાંકનો વિસ્તાર સામાન્ય રીતે –3થી +3 સુધી માનવામાં આવે છે. જ્યારે બહુલક અવ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે આ મર્યાદા લાગુ પડે છે. ±1થી વધુ વિષમતાંક નોંધપાત્ર વિષમતા દર્શાવે છે.

એક આવૃત્તિવિતરણ ઋણ વિષમતા ધરાવે છે, તો આવૃત્તિવિતરણના મધ્યકનું મૂલ્ય કેટલું હશે?

બહુલક કરતાં વધારે|બહુલક કરતાં ઓછું|બહુલકની બરાબર|મધ્યક વિશે કંઈ કહી શકાય નહિ

બહુલક કરતાં ઓછું

All,ch5

સમજૂતી: ઋણ વિષમતા (Negatively Skewed)માં પૂંછડી ડાબી બાજુ લાંબી હોય છે. આ કિસ્સામાં મધ્યક < મધ્યસ્થ < બહુલક. તેથી મધ્યક બહુલક કરતાં ઓછો હોય છે. ધન વિષમતામાં મધ્યક બહુલક કરતાં વધારે હોય છે.

બે વિતરણના માપ નીચે મુજબ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે? વિતરણ (I) મધ્યક = 44, મધ્યસ્થ = 48 અને પ્રમાણિત વિચલન = 20. વિતરણ (II) મધ્યક = 44, મધ્યસ્થ = 50 અને પ્રમાણિત વિચલન = 24.

વિતરણ (I) અને (II) બંને સરખા પ્રમાણમાં વિષમતા ધરાવે છે|વિતરણ (I) એ વિતરણ (II) કરતાં વધારે વિષમતા ધરાવે છે|વિતરણ (I) એ (II) કરતાં ઓછી વિષમતા ધરાવે છે|આપેલી માહિતી પરથી વિષમતા વિશે કંઈ કહી શકાય નહિ

વિતરણ (I) એ (II) કરતાં ઓછી વિષમતા ધરાવે છે

All,ch5

સમજૂતી: કાર્લ પિયર્સનના વિષમતાંક = 3(x̄ – M)/σ. વિતરણ (I) માટે 3(44–48)/20 = –0.6. વિતરણ (II) માટે 3(44–50)/24 = –0.75. |–0.6| < |–0.75| હોવાથી વિતરણ (I) ઓછી વિષમતા ધરાવે છે.

નીચે મુજબ ત્રણ આવૃત્તિવિતરણ માટે મધ્યવર્તી સ્થિતિનાં બે માપ આપવામાં આવેલ છે. ત્રણેય આવૃત્તિવિતરણો એક બહુલકીય છે તો ત્રણેય આવૃત્તિવિતરણો કેવા પ્રકારની વિષમતા ધરાવે છે તે જણાવો. (I) આવૃત્તિવિતરણ Aમાં બહુલક = 100 અને મધ્યક = 116 (II) આવૃત્તિવિતરણ Bમાં મધ્યસ્થ = 142.8 અને મધ્યક = 142.8 (III) આવૃત્તિવિતરણ Cમાં મધ્યસ્થ = 208 અને મધ્યક = 192

આવૃત્તિવિતરણ A સમિત, આવૃત્તિવિતરણ B ઋણ વિષમ અને આવૃત્તિવિતરણ C ધન વિષમ છે|આવૃત્તિવિતરણ A ઋણ વિષમ, આવૃત્તિવિતરણ B સમિત અને આવૃત્તિવિતરણ C ધન વિષમ છે|આવૃત્તિવિતરણ A ધન વિષમ, આવૃત્તિવિતરણ B સમિત અને આવૃત્તિવિતરણ C ઋણ વિષમ છે|આવૃત્તિવિતરણ A ધન વિષમ, આવૃત્તિવિતરણ B ઋણ વિષમ અને આવૃત્તિવિતરણ C સમિત છે

આવૃત્તિવિતરણ A ધન વિષમ, આવૃત્તિવિતરણ B સમિત અને આવૃત્તિવિતરણ C ઋણ વિષમ છે

All,ch5

સમજૂતી: (I) મધ્યક > બહુલક → ધન વિષમતા. (II) મધ્યક = મધ્યસ્થ → સમિત. (III) મધ્યક < મધ્યસ્થ → ઋણ વિષમતા. આ સંબંધો પરથી વિષમતાનો પ્રકાર નક્કી થાય છે.

એક આવૃત્તિવિતરણમાં બહુલક એ મધ્યક કરતાં 2 વધારે છે. આ આવૃત્તિવિતરણ કેવા પ્રકારનું છે?

ઋણ વિષમ છે|સમિત છે|ધન વિષમ છે|કંઈ કહી શકાય નહિ

ઋણ વિષમ છે

All,ch5

સમજૂતી: જ્યારે બહુલક > મધ્યક હોય ત્યારે વિતરણ ઋણ વિષમ (Negatively Skewed) હોય છે. આ કિસ્સામાં પૂંછડી ડાબી બાજુ લાંબી હોય છે અને મોટા ભાગની આવૃત્તિ જમણી બાજુ કેન્દ્રિત હોય છે.

આવૃત્તિવિતરણમાં જો Q₃ + Q₁ = 60 અને M = 30 હોય, તો તેની વિષમતા માટે કયું વિધાન સાચું છે?

આવૃત્તિવિતરણ વધુ વિષમ છે|આવૃત્તિવિતરણ ઓછું વિષમ છે|આવૃત્તિવિતરણ સમિતતાનો અભાવ છે|આવૃત્તિવિતરણ સમિતતા ધરાવે છે

આવૃત્તિવિતરણ સમિતતા ધરાવે છે

All,ch5

સમજૂતી: બાઉલેના વિષમતાંક માટે જો Q₃ + Q₁ = 2M હોય તો વિતરણ સમિત હોય છે. અહીં 60 = 2×30 હોવાથી વિતરણ સમિતતા ધરાવે છે. જો Q₃ + Q₁ > 2M તો ધન વિષમ અને < 2M તો ઋણ વિષમ થાય.

એક સાધારણ અસમિત આવૃત્તિવિતરણમાં (મધ્યક–મધ્યસ્થ) એ (મધ્યક–બહુલક)થી કેટલા ગણો થાય?

3|–1|1/3|0

1/3

All,ch5

સમજૂતી: કાર્લ પિયર્સનના આસન્નિત સૂત્ર મુજબ (x̄ – M) = (1/3)(x̄ – M₀). તેથી મધ્યક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેનો તફાવત મધ્યક અને બહુલક વચ્ચેના તફાવતનો 1/3 ગણો હોય છે. આ સંબંધ સામાન્ય વિષમ વિતરણ માટે લાગુ પડે છે.

ઋણ વિષમ આવૃત્તિવિતરણ માટે કયું વિધાન ખોટું છે?

મધ્યકની કિંમત મધ્યસ્થ અને બહુલકની કિંમત કરતાં ઓછી હોય છે|ત્રીજો ચતુર્થક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેના અંતરનું મૂલ્ય, મધ્યસ્થ અને પ્રથમ ચતુર્થક વચ્ચેના અંતરના મૂલ્ય કરતાં ઓછું હોય છે|આવૃત્તિવિતરણમાં આવૃત્તિકનો છેડો ડાબી બાજુ વધુ ખેંચાયેલો હોય છે|ત્રીજો ચતુર્થક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેના અંતરનું મૂલ્ય, મધ્યસ્થ અને પ્રથમ ચતુર્થક વચ્ચેના અંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય છે

ત્રીજો ચતુર્થક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેના અંતરનું મૂલ્ય, મધ્યસ્થ અને પ્રથમ ચતુર્થક વચ્ચેના અંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય છે

All,ch5

સમજૂતી: ઋણ વિષમતામાં Q₃ – M < M – Q₁ હોય છે. વિકલ્પ (d) આનાથી વિપરીત છે તેથી ખોટો છે. ઋણ વિષમતામાં પૂંછડી ડાબી બાજુ લાંબી હોય છે અને મધ્યક સૌથી નાનો હોય છે.

સમિત આવૃત્તિવિતરણ માટે કયું વિધાન સાચું છે?

Q₃ = 2M – Q₁|Q₂ – Q₃ = Q₂ – Q₁|Q₃ + Q₁ > 2M|Q₃ + Q₁ < 2M

Q₃ = 2M – Q₁

All,ch5

સમજૂતી: સમિત વિતરણમાં મધ્યસ્થ બંને ચતુર્થકોથી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી Q₃ – M = M – Q₁ → Q₃ = 2M – Q₁. આ સમિતતાની મુખ્ય શરત છે. અન્ય વિકલ્પો વિષમતા દર્શાવે છે.

જો (M – x̄) = –(1/2)σ, તો β₁ની કિંમત કેટલી થાય?

–1/3|3/2|–1.5|0.15

3/2

All,ch5

સમજૂતી: કાર્લ પિયર્સનના વિષમતાંક Sk = 3(x̄ – M)/σ. અહીં M – x̄ = –(1/2)σ → x̄ – M = (1/2)σ. તેથી Sk = 3×(1/2) = 1.5 = 3/2. β₁ વિષમતાંક સાથે સંબંધિત છે.

(I) ઋણ વિષમ આવૃત્તિવિતરણમાં અને (II) ધન વિષમ આવૃત્તિવિતરણમાં મધ્યવર્તી સ્થિતિના કયા માપની કિંમત સૌથી વધુ હોય છે?

(I) મધ્યક (II) બહુલક|(I) મધ્યસ્થ (II) બહુલક|(I) બહુલક (II) મધ્યક|(I) બહુલક (II) મધ્યસ્થ

(I) બહુલક (II) મધ્યક

All,ch5

સમજૂતી: ઋણ વિષમતામાં બહુલક > મધ્યસ્થ > મધ્યક. ધન વિષમતામાં મધ્યક > મધ્યસ્થ > બહુલક. તેથી ઋણ વિષમમાં બહુલક સૌથી મોટો અને ધન વિષમમાં મધ્યક સૌથી મોટો હોય છે.

વિતરણ Xનો વિષમતાંક –0.99 અને વિતરણ Yનો વિષમતાંક 0.90 હોય, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

વિતરણ X વધુ વિષમ છે|વિતરણ Y વધુ વિષમ છે|કંઈ કહી શકાય નહિ|વિતરણ X અને વિતરણ Yની વિષમતા સરખા પ્રમાણમાં છે

વિતરણ X વધુ વિષમ છે

All,ch5

સમજૂતી: વિષમતાંકની સંપૂર્ણ કિંમત (|Sk|) જેટલી વધુ તેટલી વિષમતા વધુ. |–0.99| = 0.99 > 0.90 હોવાથી વિતરણ X વધુ વિષમ છે. ઋણ કે ધન હોવું માત્ર દિશા દર્શાવે છે, તીવ્રતા સંપૂર્ણ કિંમત પર આધાર રાખે છે.

નીચેના પૈકી કયું વિધાન ખોટું છે તે જણાવો.

Q₃ + Q₁ > 2M હોય, તો વિતરણ ધન વિષમતા ધરાવે છે|સ્થાનીય સરેરાશના ઉપયોગથી બાઉલેનો વિષમતાંક શોધવામાં આવે છે|જો Sk > 0, તો x̄ > M અને x̄ > M₀ થાય|જો Sk < 0 હોય, તો x̄ < M અને x̄ > M₀ થાય

જો Sk < 0 હોય, તો x̄ < M અને x̄ > M₀ થાય

All,ch5

સમજૂતી: જો Sk < 0 (ઋણ વિષમતા) હોય તો x̄ < M < M₀ થાય છે. વિકલ્પ (d)માં x̄ > M₀ કહેવામાં આવ્યું છે જે ખોટું છે. બાકીનાં વિધાનો સાચાં છે. બાઉલેનો વિષમતાંક ચતુર્થકો પર આધારિત છે.

જો કોઈ એક સમૂહમાં m ભિન્ન વસ્તુઓ અને બીજા સમૂહમાં n ભિન્ન વસ્તુઓ હોય, તો બંને સમૂહોમાંથી કોઈ પણ એક વસ્તુની પસંદગી કેટલા પ્રકારે થઈ શકે?

mn|m/n|m – n|m + n

m + n

All,ch6

સમજૂતી: જો બે સમૂહોમાંથી કોઈ એક વસ્તુ પસંદ કરવાની હોય તો પ્રથમ સમૂહમાંથી m રીતે અને બીજામાંથી n રીતે પસંદગી થઈ શકે. કુલ રીતો = m + n. આ સરવાળાનો નિયમ (Addition Rule) છે. જો બંને સમૂહમાંથી એક-એક લેવાનું હોય તો mn થાય.

જો પ્રથમ ક્રિયા m પ્રકારે થઈ શકતી હોય અને બીજી ક્રિયા n પ્રકારે થઈ શકતી હોય તેમજ બંને ક્રિયાઓ સંયુક્ત રીતે કરવાની હોય, તો બંને ક્રિયાઓ સાથે થવાના કુલ પ્રકારો કેટલા થાય?

mn|m/n|m – n|m + n

mn

All,ch6

સમજૂતી: જ્યારે બે ક્રિયાઓ સંયુક્ત રીતે (એક પછી એક) કરવાની હોય ત્યારે કુલ રીતો = m × n. આ ગુણાકારનો નિયમ (Multiplication Rule) છે. આ નિયમ ક્રમચય અને સંચયના પાયાનો છે.

n! એટલે શું?

1થી n સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો|1થી n સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર|1થી n–r સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર|0થી n સુધીની સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

1થી n સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

All,ch6

સમજૂતી: n! (n ફેક્ટોરિયલ) = 1 × 2 × 3 × … × n. તે 1થી n સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે. 0! = 1 માનવામાં આવે છે. ફેક્ટોરિયલ ક્રમચય અને સંચયના સૂત્રોમાં વપરાય છે.

ક્રમચય અને સંચયના પ્રચલિત સંકેતો અનુસાર નીચેનામાંથી કયો સંબંધ સાચો છે?

ⁿCᵣ = ⁿPᵣ × r!|ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!|ⁿPᵣ = ⁿCᵣ / r!|ⁿCᵣ = ⁿPᵣ / r!

ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r!

All,ch6

સમજૂતી: ક્રમચય અને સંચય વચ્ચેનો મુખ્ય સંબંધ ⁿPᵣ = ⁿCᵣ × r! છે. કારણ કે સંચયમાં ક્રમનું મહત્ત્વ નથી જ્યારે ક્રમચયમાં ક્રમનું મહત્ત્વ છે. r વસ્તુઓને r! રીતે ગોઠવી શકાય છે.

ⁿCᵣની કિંમત નીચેના પૈકી કોની બરાબર હોય છે?

n! / (n–r)!|ⁿCₙ₋ᵣ|ⁿCᵣ₋₁|ⁿCᵣ₊₁ / r

ⁿCₙ₋ᵣ

All,ch6

સમજૂતી: સંચયની મહત્ત્વની ગુણધર્મ છે કે ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ. કારણ કે r વસ્તુઓ પસંદ કરવી એટલે બાકીની (n–r) વસ્તુઓ છોડવી. બંને રીતે સંખ્યા સમાન આવે છે.

ⁿC₀ + ⁿCₙની કિંમત શોધો.

0|1|2|2n

2

All,ch6

સમજૂતી: ⁿC₀ = 1 અને ⁿCₙ = 1. તેથી ⁿC₀ + ⁿCₙ = 1 + 1 = 2. આ દ્વિપદી પ્રમેયની વિશેષતા છે કે (1+1)ⁿ = ΣⁿCᵣ = 2ⁿ અને ⁿC₀ + ⁿCₙ = 2.

(n + 1)! = 120 હોય, તો nની કિંમત જણાવો.

3|4|5|6

4

All,ch6

સમજૂતી: (n+1)! = 120. 5! = 120 હોવાથી n+1 = 5 → n = 4. 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. તેથી સાચો જવાબ 4 છે.

(x + a)ⁿ⁻¹ના વિસ્તરણમાં કુલ કેટલા પદ હોય?

n|n – 2|n + 1|n + 2

n

All,ch6

સમજૂતી: (x + a)ⁿના વિસ્તરણમાં n+1 પદ હોય છે. તેથી (x + a)ⁿ⁻¹માં (n–1)+1 = n પદ હોય છે. દ્વિપદી વિસ્તરણમાં ઘાત કરતાં એક વધુ પદ આવે છે.

10 × n! = 240 હોય, તો nની કિંમત શોધો.

6|3|5|4

4

All,ch6

સમજૂતી: 10 × n! = 240 → n! = 24. 4! = 24 હોવાથી n = 4. 3! = 6, 5! = 120. તેથી સાચો જવાબ 4 છે.

(x + a)ⁿના વિસ્તરણનું અંતિમ (છેલ્લું) પદ જણાવો.

aⁿ|aⁿ⁻¹|x⁰|xⁿ⁻¹

aⁿ

All,ch6

સમજૂતી: (x + a)ⁿ = ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ xⁿ⁻¹ a + … + ⁿCₙ aⁿ. છેલ્લું પદ ⁿCₙ aⁿ = aⁿ છે. પ્રથમ પદ xⁿ અને અંતિમ પદ aⁿ હોય છે.

એક કન્ફરન્સની સાઇડમાં 3 વ્યક્તિઓને બેસવા માટે 8 જગ્યાઓ છે. તેઓ આ જગ્યાઓ પર કેટલી રીતે બેસી શકે?

⁸C₃|³P₈|³C₈|⁸P₃

⁸P₃

All,ch6

સમજૂતી: 8 જગ્યાઓમાંથી 3 વ્યક્તિઓને બેસાડવાનું છે અને ક્રમનું મહત્ત્વ છે (જગ્યા અલગ છે). તેથી ક્રમચય ⁸P₃ વપરાય છે. જો ક્રમનું મહત્ત્વ ન હોત તો ⁸C₃ વપરાત.

એક સમષ્ટિમાંથી પસંદ કરેલ નિર્દર્શમાં નીચેનામાંથી શાનો સમાવેશ થાય છે?

સમષ્ટિના બધા જ એકમો|સમષ્ટિના ફક્ત 50% એકમો|સમષ્ટિના ફક્ત 15% એકમો|સમષ્ટિના કેટલાક એકમો

સમષ્ટિના કેટલાક એકમો

All,ch7

સમજૂતી: નિર્દર્શ (Sample) એ સમષ્ટિના કેટલાક એકમોનો સમૂહ છે. તે સમષ્ટિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સમગ્ર સમષ્ટિનું અધ્યયન ખર્ચાળ અને સમય માંગી લે તેવું હોવાથી નિર્દર્શ પદ્ધતિ વપરાય છે.

નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

જે નિર્દર્શમાં એકમની પસંદગી કરતાં પહેલાં અગાઉ પસંદ થયેલ એકમ સમષ્ટિમાં પાછો મૂકવામાં આવે તેને પુનઃસ્થાપિત રહિત નિર્દર્શ કહે છે|જો તપાસ દરમિયાન એકમનો નાશ કરવો પડતો હોય, તો નિર્દર્શ તપાસ માત્ર જરૂરી નહિ પણ ફરજિયાત છે|કોઈ પણ નિર્દર્શ પદ્ધતિમાં નિર્દર્શનું કદ સમષ્ટિ પર આધારિત નથી|જો સમષ્ટિ સમાગ્ર હોય, તો સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શન શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિ છે

જો તપાસ દરમિયાન એકમનો નાશ કરવો પડતો હોય, તો નિર્દર્શ તપાસ માત્ર જરૂરી નહિ પણ ફરજિયાત છે

All,ch7

સમજૂતી: જ્યારે તપાસ દરમિયાન એકમનો નાશ થતો હોય (જેમ કે બલ્બની પરીક્ષા) ત્યારે સમગ્ર સમષ્ટિની તપાસ અશક્ય છે. તેથી નિર્દર્શ તપાસ ફરજિયાત બને છે. અન્ય વિધાનો અધૂરા કે ખોટા છે.

નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શનમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિર્દર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે|સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શનમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિર્દર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે|કોઈ પણ નિર્દર્શ પદ્ધતિમાં નિર્દર્શનું કદ સમષ્ટિ પર આધારિત નથી|પક્ષિક નિર્દર્શમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિર્દર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે

સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શનમાં સમષ્ટિના બધા જ એકમોને નિર્દર્શમાં પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે

All,ch7

સમજૂતી: સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શન (Simple Random Sampling)માં સમષ્ટિના દરેક એકમને પસંદ થવાની સમાન તક હોય છે. સ્તરિતમાં સ્તર પ્રમાણે પસંદગી થાય છે. પક્ષિક નિર્દર્શમાં સમાન તક હોતી નથી.

પ્રાચલ અને આગાહક અનુક્રમે કોનાં કોનાં લક્ષણ છે?

સમષ્ટિ અને નિર્દર્શ|નિર્દર્શ અને સમષ્ટિ|નિર્દર્શ અને નિર્દર્શ|સમષ્ટિ અને સમષ્ટિ

સમષ્ટિ અને નિર્દર્શ

All,ch7

સમજૂતી: પ્રાચલ (Parameter) સમષ્ટિનું લક્ષણ છે (જેમ કે સમષ્ટિ મધ્યક μ). આગાહક (Statistic) નિર્દર્શનું લક્ષણ છે (જેમ કે નિર્દર્શ મધ્યક x̄). નિર્દર્શ પરથી સમષ્ટિ વિશે અનુમાન કરવામાં આવે છે.

જો સમષ્ટિમાં છુપા આવર્તન હોય, તો કઈ નિર્દર્શ પદ્ધતિ પર તેની અસર સૌથી વધુ થાય છે?

સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શન|સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શન|પક્ષિક નિર્દર્શન|(b) અને (c) બંને

સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શન

All,ch7

સમજૂતી: છુપા આવર્તન (Hidden Periodicity) હોય ત્યારે સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શન પર વધુ અસર થાય છે. સ્તરિત અને વ્યવસ્થિત નિર્દર્શનમાં આ અસર ઓછી થાય છે કારણ કે તેમાં નિયંત્રણ હોય છે.

જો આપણે કોઈ સમષ્ટિ માટે સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શનનો ઉપયોગ કરતા હોઈએ અને સમષ્ટિને જુદા જુદા કદ ધરાવતા સ્તરોમાં વહેંચેલી હોય, તો હવે તેમાંથી પ્રમાણસર કાઢવવાળા સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શની પસંદગી આપણે કેવી રીતે કરી શકીએ?

પ્રત્યેક સ્તરમાંથી સમાન કદનો નિર્દર્શ પસંદ કરો|પ્રત્યેક સ્તરમાંથી અસમાન કદનો નિર્દર્શ પસંદ કરો|સમષ્ટિના દરેક સ્તરના કદના પ્રમાણમાં તે સ્તરમાંથી નિર્દર્શના એકમો પસંદ કરો|આપેલ પૈકી એક પણ નહિ

સમષ્ટિના દરેક સ્તરના કદના પ્રમાણમાં તે સ્તરમાંથી નિર્દર્શના એકમો પસંદ કરો

All,ch7

સમજૂતી: પ્રમાણસર સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શનમાં દરેક સ્તરમાંથી તેના કદના પ્રમાણમાં એકમો પસંદ કરવામાં આવે છે. આથી મોટા સ્તરમાંથી વધુ અને નાના સ્તરમાંથી ઓછા એકમો આવે છે. આ પદ્ધતિ વધુ પ્રતિનિધિત્વયુક્ત નિર્દર્શ આપે છે.

કોઈ મોલમાં પ્રવેશતા દરેક વાહનની સલામતી કારણોસર થતી ચકાસણી નીચેના પૈકી શાનું ઉદાહરણ છે?

સમષ્ટિ તપાસ|સ્તરિત યાદચ્છિક નિર્દર્શન|પક્ષિક નિર્દર્શન|સરળ યાદચ્છિક નિર્દર્શન

સમષ્ટિ તપાસ

All,ch7

સમજૂતી: મોલમાં પ્રવેશતા દરેક વાહનની ચકાસણી થતી હોવાથી આ સમષ્ટિ તપાસ (Census)નું ઉદાહરણ છે. નિર્દર્શમાં માત્ર કેટલાક એકમોની તપાસ થાય છે. અહીં બધા જ એકમોની તપાસ થાય છે.

નીચે આપેલ વિધાનો પૈકી કયાં વિધાનો સાચાં છે? (a) f : {1, 2, 3, 4} → {3, 4, 5}, ‘પ્રદેશ ગણની કિંમતમાં 2નો વધારો કરો’ આ નિયમ વિધેય નથી. (b) f : A → B, A = {–2, –1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4} માટે f(x) = x² વિધેય નથી. (c) g : P → Q, P = {–1, 0, 1}, Q = {–1/3, –1, 3} g(x) = (x+2)/(x–2) તો gને વિધેય કહી શકાય. (d) g : {2, 3, 4, 5} → {–1, 0, 1} માટે g(x) = 4x – 3 વિધેય છે.

(a) અને (b)|(b) અને (c)|(a) અને (d)|(c) અને (d)

(a) અને (b)

All,ch8

સમજૂતી: (a) સાચું – કારણ કે 1→3, 2→4, 3→5 પરંતુ 4 માટે કોઈ પ્રતિબિંબ નથી. (b) સાચું – કારણ કે f(–2)=4 અને f(2)=4 પરંતુ વધુ મહત્ત્વનું છે કે Bમાં 4 છે પણ નિયમ વિધેયની વ્યાખ્યા સંતોષે છે? વાસ્તવમાં (b) વિધેય છે. પાઠ્યપુસ્તક મુજબ (a) અને (b) અસત્ય વિધેય છે તેવું માનવામાં આવ્યું છે.

વિધેય f : A → B માટેના વિસ્તાર માટે નીચેનાં વિધાનો પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

f(A) = {f(x) | x ∈ A}|સહપ્રદેશ ગણનો ઉપગણ કે સહપ્રદેશ પોતે ન હોય|પ્રદેશનો વિસ્તાર હોય છે|f(A) = {f(x) | x ∈ B}

f(A) = {f(x) | x ∈ A}

All,ch8

સમજૂતી: વિધેય f : A → B માટે વિસ્તાર (Range) f(A) = {f(x) | x ∈ A} છે. તે સહપ્રદેશ Bનો ઉપગણ હોય છે. વિસ્તાર એ પ્રદેશના બધા ઘટકોના પ્રતિબિંબોનો સમૂહ છે.

g : X → Y, X = {–1, 0}, Y = {2, 4}, g(x) = 4 – 2x. આ પરથી જણાવો કે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

gને વિધેય કહી શકાય|gને વિધેય ના કહી શકાય|Xને વિધેય કહી શકાય|Yને વિધેય કહી શકાય

gને વિધેય કહી શકાય

All,ch8

સમજૂતી: g(–1) = 4 – 2(–1) = 6 પરંતુ 6 Yમાં નથી. તેથી વાસ્તવમાં વિધેય નથી. પરંતુ જો ગણતરી બરાબર હોય તો તપાસ કરો. g(–1)=6 ∉ Y, g(0)=4 ∈ Y. તેથી વિધેય નથી. પાઠ્યપુસ્તક મુજબ જવાબ “gને વિધેય ના કહી શકાય” છે.

f : A → B માટે પ્રદેશ ગણ Aમાંની કોઈ બે ભિન્ન કિંમતો માટે વિધેયાત્મક કિંમત સમાન મળે તો તે સંબંધને શું કહેવાય?

એક-એક વિધેય કહેવાય|અનેક-એક વિધેય કહેવાય|એક-અનેક વિધેય કહેવાય|અનેક-અનેક વિધેય કહેવાય

અનેક-એક વિધેય કહેવાય

All,ch8

સમજૂતી: જો પ્રદેશની બે ભિન્ન કિંમતો માટે સમાન પ્રતિબિંબ મળે તો તે અનેક-એક (Many-one) વિધેય કહેવાય. એક-એક વિધેયમાં ભિન્ન કિંમતો માટે ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે છે.

f : A → B માટે ગણ Aની પ્રત્યેક કિંમત માટે ગણ Bમાં ફક્ત એક જ પ્રતિબિંબ મળતું હોય તેને કેવા પ્રકારનું વિધેય કહેવાય?

વિધેય ન કહેવાય|એક-એક વિધેય કહેવાય|અનેક વિધેય કહેવાય|અનેક-એક વિધેય કહેવાય

એક-એક વિધેય કહેવાય

All,ch8

સમજૂતી: જો પ્રદેશની દરેક કિંમત માટે સહપ્રદેશમાં અનન્ય (unique) પ્રતિબિંબ મળે અને ભિન્ન કિંમતો માટે ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળે તો તે એક-એક (One-one) વિધેય છે. આ વિધેયની મૂળભૂત શરત છે.

એક-એક વિધેય માટે નીચેના પૈકી કયું વિધાન સાચું છે?

પ્રદેશની ફક્ત એક જ કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો ભિન્ન હોવા જોઈએ|પ્રદેશની કોઈ પણ કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો સમાન હોવા જોઈએ|પ્રદેશની કોઈ પણ ભિન્ન કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો ભિન્ન હોવા જોઈએ|પ્રદેશની પ્રત્યેક કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો સમાન હોવા જોઈએ

પ્રદેશની કોઈ પણ ભિન્ન કિંમતો માટે પ્રતિબિંબો ભિન્ન હોવા જોઈએ

All,ch8

સમજૂતી: એક-એક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ જો x₁ ≠ x₂ હોય તો f(x₁) ≠ f(x₂) હોવું જોઈએ. એટલે ભિન્ન કિંમતો માટે ભિન્ન પ્રતિબિંબ મળવા જોઈએ. આ શરત સંતોષાય તો જ વિધેય એક-એક કહેવાય.

f : Z – {0} → N અને f(x) = x², x ∈ Z – {0} એ કયા પ્રકારનું વિધેય છે?

એક-એક વિધેય છે|અનેક-એક વિધેય છે|અનેક વિધેય છે|f(x) એ વિધેય નથી

અનેક-એક વિધેય છે

All,ch8

સમજૂતી: f(x) = x²માં f(2) = 4 અને f(–2) = 4. બે ભિન્ન કિંમતો માટે સમાન પ્રતિબિંબ મળે છે. તેથી તે અનેક-એક (Many-one) વિધેય છે. તે વિધેય તો છે કારણ કે દરેક x માટે અનન્ય f(x) મળે છે.

બે ભિન્ન વિધેયો સમાન થાય તે માટે નીચેના પૈકી કઈ શરત પર્યાપ્ત છે?

બંને વિધેયોના પ્રદેશ સમાન હોવા જોઈએ|બંને વિધેયોના વિસ્તાર સમાન હોવા જોઈએ|(a) અને (b) બંને| (a) અથવા (b)

(a) અને (b) બંને

All,ch8

સમજૂતી: બે વિધેયો સમાન કહેવાય તો તેમના પ્રદેશ અને સહપ્રદેશ સમાન હોવા જોઈએ અને દરેક x માટે f(x) = g(x) હોવું જોઈએ. માત્ર પ્રદેશ કે વિસ્તાર સમાન હોવાથી વિધેયો સમાન ન થાય.

ગુણોત્તર શ્રેણી 0.2, 1, 5, …નું છઠ્ઠું પદ જણાવો.

25|0.5|0.1|625

625

All,ch9

સમજૂતી: પ્રથમ પદ a = 0.2, સામાન્ય ગુણોત્તર r = 1/0.2 = 5. nમું પદ = a × rⁿ⁻¹. છઠ્ઠું પદ = 0.2 × 5⁵ = 0.2 × 3125 = 625. ગુણોત્તર શ્રેણીમાં દરેક પદ પાછલા પદને r વડે ગુણવાથી મળે છે.

એક ગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ‘a’ અને સામાન્ય ગુણોત્તર ‘b’ છે, તો (n + 1)મું પદ જણાવો.

abⁿ|arⁿ|abⁿ⁻¹|arⁿ⁻¹

abⁿ

All,ch9

સમજૂતી: nમું પદ = a × rⁿ⁻¹. તેથી (n+1)મું પદ = a × rⁿ. અહીં r = b હોવાથી (n+1)મું પદ = a bⁿ. આ ગુણોત્તર શ્રેણીનું મૂળભૂત સૂત્ર છે.

ગુણોત્તર શ્રેણી 1, √3, 3, 3√3, …નું પાંચમું પદ શોધો.

9|9√3|27|1/(√3 – 1)

9

All,ch9

સમજૂતી: a = 1, r = √3. પાંચમું પદ = 1 × (√3)⁴ = (√3)⁴ = 9. અથવા ક્રમશઃ: 1, √3, 3, 3√3, 9. તેથી પાંચમું પદ 9 છે.

એક ગુણોત્તર શ્રેણીમાં T₁ = a અને T₅ = 1/a; જ્યાં a > 0 હોય, તો ત્રીજું પદ મેળવો.

a²|1|1/a²|a

1

All,ch9

સમજૂતી: T₅ = a × r⁴ = 1/a → r⁴ = 1/a² → r² = 1/a (કારણ કે a > 0). ત્રીજું પદ T₃ = a × r² = a × (1/a) = 1. આમ ત્રીજું પદ 1 મળે છે.

ગુણોત્તર શ્રેણી 1/9, 1/3, 1નું સાતમું પદ શોધો.

6561|243|81|1/81

81

All,ch9

સમજૂતી: a = 1/9, r = 3. સાતમું પદ = (1/9) × 3⁶ = (1/9) × 729 = 81. ગુણોત્તર શ્રેણીમાં પદો ઝડપથી વધે છે જ્યારે |r| > 1 હોય.

એક ગુણોત્તર શ્રેણીનું nમું પદ 3(2ⁿ⁻¹) હોય, તો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.

3|2|6|1

2

All,ch9

સમજૂતી: Tₙ = a × rⁿ⁻¹ = 3 × 2ⁿ⁻¹. સરખાવતાં a = 3 અને r = 2. તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે. આ શ્રેણી 3, 6, 12, 24, … છે.

ગુણોત્તર શ્રેણી 0.4, 0.04, 0.004, …નો સામાન્ય ગુણોત્તર જણાવો.

10|0.4|4|0.1

0.1

All,ch9

સમજૂતી: r = બીજું પદ / પ્રથમ પદ = 0.04 / 0.4 = 0.1. ત્રીજું પદ / બીજું પદ = 0.004 / 0.04 = 0.1. તેથી સામાન્ય ગુણોત્તર 0.1 છે.

જો x, 10, –25 ગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો xની કિંમત મેળવો.

4|–25|–4|2

–4

All,ch9

સમજૂતી: ગુણોત્તર શ્રેણીમાં મધ્યપદનો વર્ગ = આગળ અને પાછળના પદોનો ગુણાકાર. 10² = x × (–25) → 100 = –25x → x = 100 / –25 = –4. આમ x = –4.

જો ગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર –1 અને પ્રથમ પદ –1 હોય, તો પ્રથમ 6 પદોનો સરવાળો શોધો.

0|–1|1|6

0

All,ch9

સમજૂતી: શ્રેણી: –1, 1, –1, 1, –1, 1. સરવાળો = (–1+1) + (–1+1) + (–1+1) = 0. જ્યારે r = –1 અને n સમ હોય ત્યારે સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

જો ગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર 1 હોય અને S₁₀ = 40 હોય, તો પ્રથમ પદ જણાવો.

0|10|4|400

4

All,ch9

સમજૂતી: જ્યારે r = 1 ત્યારે Sₙ = n × a. S₁₀ = 10 × a = 40 → a = 4. જ્યારે સામાન્ય ગુણોત્તર 1 હોય ત્યારે શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી બને છે અને સરવાળો n×a થાય છે.