Std 10 Maths IMP theory
Get the complete chapter-wise Std 10 Maths IMP theory guide. Score higher in your Gujarat Board exams by focusing on these exact concepts.
11. 10. વર્તુળ
- વર્તુળ : સમતલનાં એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા તેજ સમતલના બિંદુઓના ગણને વર્તુળ કહે છે.
- વર્તુળની ત્રિજયા ઃ વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળના બિંદુને જોડતા રેખાખંડને વર્તુળની ત્રિજયા કહે છે.
- O કેન્દ્ર અને r ત્રિજયા વાળા વર્તુળને સંકેતમાં ⊙(O, r) કહે છે.
- અગત્યની નોંધ :- એક વર્તુળની (એકરૂપ વર્તુળની) એકરૂપ જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ એકરૂપ ખૂણાઓ આંતરે છે.
- જીવાઓ કદ. જો કોઇ વર્તુળમાં (કે એકરૂપ વર્તુળમાં) બે જીવાઓ કેન્દ્ર આગળ સમાન (એકરૂપ) ખૂણાઓ બનાવે તો તે જીવાઓ સમાન (એકરૂપ) હોય છે.
- વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાના દ્રિભાગે છે.
- વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા વ્યાસ સિવાયની જીવાને દ્રિભાગે, તો તે જીવાને લંબ હોય છે.
- એકરૂપ વર્તુળની (એક જ વર્તુળની) એકરૂપ જીવાઓનું કેન્દ્રથી સમાન અંતર હોય છે. (એક જ વર્તુળમાં) કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ એકરૂપ હોય છે.
- જો એક (એકરૂપ વર્તુળમાં) બે ચાપ એકરૂપ હોય તો જીવાઓ એકરૂપ, તો પ્રતિપ પણ સત્ય છે.
- વર્તુળના લધુચાપે વર્તુળના કેન્દ્ર પર આંતરેલા ખૂણાનું માપ તે જ પ્રમાણે ગુરૂચાપ પરના કોઈ બિંદુએ આંતરેલા ખૂણાના માપ કરતાં બમણું હોય છે.
- એક જ વૃતખંડના ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
- અર્ધવર્તુળની અંતગર્તનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
- કોઇ એક રેખાખંડ, તેને સમાવતી રેખાના એક જ અર્ધતલમાં આવેલા બે બિંદુ આગળ સમાન માપનો ખૂણો બનાવે તો આ બંને બિંદુ એક જ વર્તુળ પર હોય છે.
વર્તુળની જીવાઓ અને કેન્દ્ર
ચક્રીય ચતુષ્કોણ
- * * * ચક્રિય ચતુષ્કોણ :
- જો કોઇ ચતુષ્કોણના બધાજ શિરોબિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર આવેલા હોય તો તેને ચકિય ચતુષ્કોણ કહે છે.
- ચકિય ચતુષ્કોણના સામ-સામેના ખૂણાના માપનો સરવાળો 180° થાય, તો પ્રતિપ પણ સત્ય છે.
- અગત્યના પ્રમેયો :
- પ્રમેય 10.1: વર્તુળના કોઈ બિંદુએ દોરેલ સ્પર્શક સ્પર્શબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
- પ્રમેય 10.2: વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળનો સ્પર્શક લંબાઇ સમાન હોય છે.
- જો વર્તુળના સમતલમાં આવેલી કોઈ રેખા વર્તુળની કોઈ ત્રિજયાને તેના વર્તુળ પરના અંત્યબિંદુએ લંબ હોય, તો આ રેખા વર્તુળનો સ્પર્શક કહેવાય.
આકૃતિ 3: સ્પર્શકની લંબાઈ (પ્રમેય 10.2)
- m∠OAP = m∠OBP = 90° અને ∠APO ≅ ∠BPO, ∠AOP ≅ ∠BOP છે.
- અહીં O, B, P, A બિંદુઓ છે. AP = PB ને સ્પર્શકની લંબાઈ કહે છે.
- □ABCD ની ચારેય બાજુને જો કોઈ એક વર્તુળ સ્પર્શ તો આ વર્તુળને ચતુષ્કોણનું અંતઃવર્તુળ કહે છે. તો AB + CD = AD + BC થાય.
- ΔABC માં m∠B = 90°, ત્રિકોણની ત્રણે બાજુઓ ને સ્પર્શના વર્તુળની ત્રિજયા = (AB + BC - AC) / 2
- ΔABC ના અંત: વૃતની ત્રિજ્યા r હોય તો, ΔABC નું ક્ષેત્રફળ = 1/2 × r(AB + BC + AC)
- સમકેન્દ્રીય વર્તુળો : કેન્દ્ર બિંદુ સમાન હોય પરંતુ ત્રિજયા ભિન્ન હોય તેવા સમતલીય વર્તુળો. દા.ત. ⊙(O, r1) અને ⊙(O, r2)
- એકરૂપ વર્તુળો : કેન્દ્રબિંદુ ભિન્ન હોય પરંતુ ત્રિજયા સમાન હોય. દા.ત. ⊙(A, r) અને ⊙(B, r)
- * વર્તુળ ⊙(A, r1) અને ⊙(B, r2) માટે જો,
- (1) AB > r1 + r2 તો સામાન્ય સ્પર્શકો 4 મળે.
- (2) AB = r1 + r2 તો સામાન્ય સ્પર્શકો 3 મળે.
- (3) |r1 - r2| < AB < r1 + r2 તો સામાન્ય સ્પર્શકો 2 મળે.
- (4) AB = |r1 - r2| તો સામાન્ય સ્પર્શકો 1 મળે.
- (5) AB < |r1 - r2| તો સામાન્ય સ્પર્શકો 0 મળે.
What's Your Reaction?
Like
0
Dislike
0
Love
0
Funny
0
Wow
0
Sad
0
Angry
0
GSEB Expert
I am a dedicated person who provides study materials, notes, textbooks, question papers, solutions, and educational updates for all GSEB board classes. My goal is to make learning easier and more accessible for students by sharing useful resources in one place. I believe that every student deserves clear guidance and quality study support to achieve better results. Through my work, I strive to help students learn with confidence and stay updated throughout their academic journey.
Comments (0)